Az ókor matematikája
Készítette: Dzsotján Dániel 9.a
2003.
Tartalomjegyzék:
Az ókori Babilon és Sumer
matematikája
Az ókori Egyiptom matematikája
India és Kína matematikája az ókorban
_____________________________________
_____________________________________
A történelem tényei azt mutatják, hogy az emberi társadalom minden tevékenységi formájának fejlődését a gazdasági fejlődés egységes motívumai befolyásolják. A matematika terén ez a befolyás abban nyilvánul meg, hogy tömegével rejti magába a matematika keletkezésének forrásait.
A matematika nem egy meghatározott helyen jött létre és formálódott tudománnyá, hanem különböző, gyakran egymástól igen távoli területeken, amelyek között feltehetően akkor még nem volt semmiféle kapcsolat.
A számolást segítő eszközök története is tulajdonképpen egyidős az emberiség történetével. Az ősember számoláshoz az ujjait használta, ennek latin neve digitus (valószínűleg innen származik a digit elnevezés is, mely angolul számjegyet jelent).
Később a számoláshoz köveket, fonalakat és egyéb eszközöket használtak, és az eredményt a sziklafalba, csontba, falapokba vagy agyagtáblákba vésve rögzítették.
A nagyobb számértékek megjelenésével kialakultak a számrendszerek, vagyis az átváltásos rendszerű számábrázolás.
Az első, máig is fennmaradt ilyen írásmód az inka és a maja kultúrákban használt kipukon látható. Ezeken tízes számrendszerbeli értékeket meglepő módon egy kettes számrendszerrel működő, a kövek helyzetét alapul vévő eszközzel dolgoztak fel. Ezek az ősi eszközök jóval megelőzték az európai „számológépek” megjelenését és azoknak fejlődését.
Az ókori Babilon és Sumer matematikája
A Tigris és az Eufrátesz vidékén, Mezopotámiában találták az első olyan településeket, amelyek népi jellegét már biztosan meg tudjuk állapítani.
Mezopotámia déli részén Kr. e. 3200 körül a sumérok telepedtek meg, akik a rendkívül jó minőségű, termékeny talajon virágzó gazdasági életet és élénk kereskedelmet folytató városokat (Ur, Uruk, Lagas, Eridu stb.) hoztak létre. Ennek a körülbelül másfél évszázadig fennálló birodalomnak a bukása után az akkádokkal rokon amoriták alapították meg a hatalmas Óbabiloni Birodalmat és annak Eufrátesz partján fekvő fővárosát, Babilont, ezeknek létrehozása valószínűleg Hammurapi nevéhez fűződik (Kr. e 1728-1686).
A XX. század ásatásai és régészeti munkái során rengeteg sumér és babiloni ékírásos agyagtábla került elő, s e sok tábla között körülbelül 250 olyan van, amely matematikai tartalmú.
Az ásatások során előkerült legősibb (körülbelül Kr. e. 2100-ból) táblák
híven tanúsítják azt, hogy az itt élő népek igen ügyesen tudtak számolni, és
rendkívül fejlett matematikai ismeretekkel rendelkeztek. Tízes számrendszeren
alapuló hatvanas számrendszerrel dolgoztak, amely két alapvető jelre épült: az
ék,
(értéke 1) és a kapocs,
(értéke 10) jelére, s e jelek ismétlésével írták le az
1-59-ig terjedő számokat. Egy tetszőleges számot balról jobbra haladva az N
elv alapján ábrázoltak, így tehát a számrendszerük 60-as helyiértékes
rendszer volt. A nullát azonban még nem ismerték. Ugyanaz az ék nemcsak az
egyet jelölhette, hanem bármelyik alakú alakú számot.
Ismerték a helyiérték fogalmát, a számolás megkönnyítésére és meggyorsítására pedig osztó-, szorzó-, négyzet-, köb- és
négyzetgyöktáblázatokat használtak. A táblázatok tartalmazta anyag
azt mutatja, hogy számrendszerük alapján számos egységes aritmetikai műveleti
szabályt ismertek már mind az egész, mind a törtszámokra. A nagy számokkal való
szorzást úgy végezték el, hogy a táblázat segítségével megkeresték a
részszorzatokat, amelyeket ezután összeadtak. Az osztást
a reciprok értékeket tartalmazó táblázatok segítségével végezték el (mivel 
).
A leletek között találunk olyan táblázatot is, amelyek az n³+n² alakú számokat tartalmazzák.
A táblákon a táblázatok mellett feladatmegoldások is szerepelnek. Ezek között van kamatszámítási feladat, sőt olyan is, amely első-, másod- vagy éppen harmadfokú egyenletre vezető. Olyan feladatokat is megoldottak, amelyeket ma kétismeretlenes első- vagy másodfokú egyenletrendszerrel fejthetnénk meg.
Ismerték a Pithagorasz- tételt is, egyik táblájukon pedig racionális oldalú derékszögű háromszögek sorozata látható. Ebből a matematikusok azt a következtetést vonták le, hogy elő tudtak állítani pithagoraszi számhármasokat is.
A kerület- és területszámítás jó közelítő módszereit is ismerték, de megelégedtek a π=3 értékkel.
Valószínű, hogy csillagászatuk fejlődésével szükségessé vált a szögmérés ismerete és néhány, már majdnem trigonometriának mondható összefüggés és egyenlet is.
Egyes kutatók úgy látják, hogy a babiloni matematikában már egyfajta kezdetleges algebráról beszélhetünk, a babiloni geometria is inkább algebrai jellegűnek számít.
Mindenesetre a babiloni matematika nagy hatást gyakorolt a későbbi korok matematikájára is, az ékírásos táblák pedig igen alkalmasak lettek volna algebrai szimbólumok kialakítására.
Az ókori Egyiptom matematikája
Az ókori Egyiptom matematikájáról leginkább két nagy matematikai jellegű papirusztekercs és több kisebb töredék alapján alkothatunk képet. A két nagy tekercs, a Rhind- és a Goleniscsev- tekercs (mindkét iratot megtalálójáról nevezték el) jelenleg Londonban és Moszkvában található.
A Rhind-papiruszon 84 gyakorlati feladat található, amelyeket a tekercs írója a törtekkel végzett műveletek segítségével old meg. A papiruszon olyan táblázat is látható, amely tartalmazza a 2 számlálójú törtek törzstörtekre való bontását az 5-331- ig terjedő páratlan nevezőkre.
Az ilyenfajta táblázatok elkészítése bizonyosan rendkívül nehéz lehetett, így a törtekkel ilyen úton való számolás úgyszintén.
A tekercsen téglalap-, háromszög-, trapéz- és körterület-kiszámítási módszerek
is találhatók, ez
utóbbinak megoldása
amiből π-re durva, 3,1605-es közelítés adódik.
A papiruszon paralelepipedon- és hengertérfogatok, továbbá piramisok méretei is meg vannak határozva. Itt szerepelnek ezenkívül arányos osztásra vezető feladatok is, az egyik feladat megoldásában pedig mértani sorozatok összegzését láthatjuk.
A moszkvai Goleniscsev- tekercsen huszonöt feladat megoldása található, többségük azonban hasonló a Rhind- papiruszon lévőkéhez. Ezeken kívül még szerepelnek a fent említett tekercsen olyan feladatok is, amelyekben a négyzetes alapú csonkagúla térfogatának kiszámítása van levezetve (ennek egyik legkitűnőbb példája a 14. számú feladat), és olyanok is, amelyekben –a matematika történetében elsőként- görbe felület felszínének meghatározásáról van szó. Az egyik ilyen típusú feladatban a szerző egy kosár oldalfelületét számítja ki, amely tulajdonképpen egy félhenger (magassága egyenlő az alapkör átmérőjével).
Ezen tekercsek tanulmányozásakor feltárul előttünk az egyiptomiak matematikai ismereteinek rendkívül magas színvonala.
Amikor ezeket a dokumentumokat leírták, az egyiptomiaknál
kialakult egy tízes hieroglifikus számrendszer. A
(k═ 0, 1, 2, ... 7) alakú csomószámok jelölésére
sajátos hieroglifikus jelölési mód honosodott meg, az algoritmikus számokat
pedig ezen csomószámok kombinációival írták le, ennek
segítségével minden olyan művelettel megbirkóztak, amely csak egész számok
használatát kívánta meg. Ezért csak az 
alakú , úgynevezett
törzstörteket ( és néhány kivételes törtet, ilyen például a ¾ )
használták. Az összes olyan eredményt, amelyet 
alakú törttel kellett
volna kifejezni , törzstörtek összegeként fejezték ki. E művelet megkönnyítése
céljából különleges táblázatokat állítottak össze. Ilyen volt például a 
alakú számok táblázata
( n= 3, ...101 ).
Érdekes az, hogy ebben a táblázatban nem egyöntetű az összeadandók kiválasztása. A matematikusok úgy látják, a táblázatot hosszabb idő alatt készítették el, tehát annak kialakulása fokozatosan történt, a ránk maradt tábla pedig egyszerűen az elért eredmények gyűjteménye.
Egyébként a 
„triviális”
felbontással egyáltalán nem találkozunk, valószínűleg annak magától értetődő
volta miatt.
Az egész- és törtszámokkal végzett aritmetikai műveletek elvégzésére úgyszintén kialakultak bizonyos módszerek. Az egyiptomiak számítási technikájára jellemző volt az additív jelleg: minden eljárást, ha lehetséges volt, az összeadásra vezettek vissza. Ez, és a törteknek csak az egység részenkénti primitív értelmezése a számításoknak sajátos jelleget kölcsönzött.
Például a szorzásnál rendszerint az egyik tényező ismételt duplázását és a kapott eredmények közül a megfelelő részszorzatok összeadását alkalmazták.
A papiruszok bizonysága szerint ismerték a számtani és a geometriai sorozatot. A „hau” (csoport)-nak nevezett művelet azonosítható a különleges alakú elsőfokú egyismeretlenes egyenlet megoldásával, tehát ebben gyakorlatilag az algebra kezdeteit gyaníthatjuk.
Geometriai ismereteikben felfedezhető – és erre nagyszerű példa a Kheopsz- piramis szerkezete – az úgynevezett aranymetszés. Ennek lényege az, hogy az a szakaszt úgy osztjuk két részre, b-re és c-re,ahol b>c, hogy az a:b:c aránypár teljesüljön. Ilyen módon a nagyobbik szelet mértani középarányosa az egész szakasznak és a kisebbik szeletnek. Ha egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság aranymetszéssel osztja ketté az átfogót, akkor ezt a háromszöget Kepler- háromszögnek nevezzük.
Sok olyan próbálkozás látott napvilágot, amely a piramisok adataiból
olyan geometriai és csillagászati ismereteket vélt kiolvasni, melyekkel az
egyiptomiak jól bizonyíthatóan még nem rendelkeztek. Ilyen többek között a π ~
~3,1428 érték is.
A mai t═ r²π képlettel való összehasonlítás azt mutatja, hogy Egyiptomban viszonylag pontatlanabb, de a gyakorlatban jól használható π= 3,16 értékkel dolgoztak. Azonban nem valószínű az, hogy a Rhind-papirusz keletkezése előtt kb. 500 évvel pontosabb π értéket használtak volna, mint századokkal, évezredekkel később.
India és Kína matematikája az ókorban
A „Szulvaszutrák”, a legrégebbi matematikai vonatkozású hindu leletek egyes részei körülbelül Kr.e. 500- ból valók. Ezekben olvashatunk vallási szertartások leírásáról is, közöttük felmerülnek például az oltárok vagy a szentélyek építéséhez köthető matematikai természetű problémák. Ezek között találhatunk például a négyzet vagy téglalap rajzolására, körök, négyzetek területére vonatkozó utasításokat, a négyzet oldala és átlója közötti összefüggéseket, és ezen írásokban felbukkan még többek között Pithagorasz tétele is.
A hindu matematikában a számításokhoz a tízes számrendszert használták, a helyiérték fogalmát azonban még nem ismerték, így majdnem minden szám leírásához külön jelet használtak.
A matematika fejlődésének súlypontja Róma hanyatlásának korában tevődött át Indiába. E korszak első írásos emlékei a „Sziddhanták”. Tartalmuk főleg a csillagászat és az ehhez szorosan kapcsolódó trigonometria, s bennük a hatvanas számrendszer használata híven tükrözi a babiloni matematika hatásait. A Kr. e. 300-400 táján íródott „Szurija Sziddhanta” húrtáblázat helyett már szinusztáblázatot tartalmaz. Több mint valószínű, hogy ez eredeti hindu alkotás.
A korabeli India matematikájának központjai felthetően Udzsainban és Majszurban voltak, a leghíresebb indiai matematikusok közé pedig Árjabhata (476-550?) és Brahmagupta (598-660?) tartozott. Itt még megemlíthetjük a majszuri iskolához tartozó Mahavira (580 körül) nevét, aki háromszögekkel és négyszögekkel foglalkozott. Ezek közül kiemelkedő szerepe volt Brahmaguptának: elsőként tekintette a nullát is számnak, és megállapította, hogy a nullával való osztás nem értelmezhető. Húszkötetes főművéből – melyben megadta a diophantoszi egyenletek általános megoldását – 12 tárgyalt aritmetikát és algebrát. Az ax+ by=c alakú határozatlan egyenlet első általános megoldása is az ő nevéhez fűződik.
Az indiai matematikusok később trigonometriával és geometriával is foglalkoztak, Arjabhata a π értékét 3,146-nek vette.
Körülbelül a 200-400-as évek idején történhetett az, hogy a tízes számrendszer és a helyiértékrendszer a tízes helyiértékrendszerré ötvöződött össze, ezt egy 595-ből fennmaradt írás is tanúsítja.
Nagyon bizonytalan eredetű a „Bakshali kézirat” elnevezésű, matematikai vonatkozású mű. Ennek fő érdekessége az, hogy a nulla jelölésére már vonást használt. Keletkezési ideje nehezen, csak tág határokon belül becsülhető meg, körülbelül a III. és a XIII. század közé tehető.
E kor sorrendben utolsó nagy matematikusa Bhászkara
volt. 1150 táján tevékenykedett Udzsainban. Már meg
tudta oldani például az 
másodfokú egyenletet,
bár a negatív gyököket nem vette számításba. Ezen kívül az ő alkotásai között
tartjuk számon a hosszú ideig irányt mutató matematikai feladatgyűjteményt, a „Lilavati”-t is.
Az ősi hindu matematikának köszönheti az emberiség a tízes helyiértékrendszer megjelenését, amely arab matematikusok közvetítésével a Közel-Keleten át jutott Európába, majd végül az egész világon elterjedt.
Kétségbevonhatatlan tény az, hogy Kínában a tudományok, így a matematika fejlődésének is évezredkre visszanyúló története van.
A kínaiak ókori matematikai ismereteiről rendkívül keveset tudunk, de remélhetőleg ezt a helyzetet hamarosan megváltoztatják azok a jelenleg folyó kutatások, amelyek Kína történelmével kapcsolatosak.
A kínai matematika történetét egészen a távoli ókorig nyomon követhetjük, Li Jan matematikatörténész szerint a Krisztus előtti XXV. századig.
Az ókori kínai matematikához kapcsolódó dokumentumok a tízes számrendszerről, sajátos hieroglifikus számírási módszerről, nagy számokkal való műveletekről, geometriával kapcsolatos problémákról (pl.: szögmérés, körző, vonalzó használata stb.) és különböző számolási segédeszközök használatáról (pl.: csomók, számoló-és húrtáblázatok) tanúskodnak. A legkorábbi matematikai témájú mű pedig, a „Matematika kilenc könyvben”, amelyet feltehetően Csang Can (Kr.e. 152 körül) kínai államférfi írt, és amely összefoglalja az akkori Kína matematikai ismereteit, időszámításunk kezdete körül jelent meg. E művet többször is átdolgozták és kiegészítették híres kínai matematikusok, mint például a Kr.e. I. században Heng Csou-csang, feltehetően a III. században Liu Huj, a VI. században Csen Luan, a VII. században pedig Li Csung-feng.
Ezen átdolgozások eredményeként a „Matematika kilenc könyvben” sajátos tartalmú, a matematika különböző területeit és az ezekkel kapcsolatos kérdéseket és problémákat rendkívül részletesen tárgyaló matematikai enciklopédiává, azok számára pedig, akik a matematikát tanulták, vizsgálódásaik kiindulását képező klasszikus művé vált.
Ezen írások formájukat tekintve különálló pergamentekercsek, amelyek elsősorban gyakorlati jellegű témákkal foglalkoztak. A könyvek sokrétűsége valószínűleg abból adódik, hogy a könyvek egy része feltehetően hivatalnokok, mérnökök, földmérők, adószedők stb. számára íródott. A későbbi kiegészítések és átdolgozások eredményeként a könyvek, bár a matematikai általánosság ismérve szerint nem, de a téma tekintetében némileg egységesebbé váltak.
A mű tárgyalásmódja dogmatikus, azaz a tételeket úgy magyarázza mint merev, megváltoztathatatlan, kötelező erejű igazságokat: megfogalmazza a feladatok feltételeit, majd mindegyikükre feleletet ad. A könyvekben szereplő szabályokat nem indokolja: a könyvekben definíciók, bizonyítások nincsenek.
Előbb felsorolja azokat a feladatokat, amelyeknek típusa azonos, majd megadja azoknak algoritmusát, megoldási menetét. Ez az algoritmus vagy általánosan megfogalmazott szabályokból áll, vagy a feladatot úgy vezeti le, hogy konkrét számokkal az egymás után elvégzendő műveleteket mutatja meg.
Az első könyvben, a „Mező mérésé”-ben a terület-és kerületszámítás helyesen megadott módszereit láthatjuk. A π értékét a könyv írója azonban csak közelítőleg határozza meg: a körterület kiszámításánál a π═ 3 közelítő értékkel dolgozik.
A második könyv címe: „A gabona különböző fajtái közötti viszony”. Ebben a gabonnaadó behajtásáról és sok minden más, a gabonával és a gabonakereskedelemmel kapcsolatos problémáról olvashatunk.
A harmadik könyv, melynek címe „Fokozat szerinti
osztás”, arányos osztásra, a számok reciprokai
arányában való szétosztásra, egyszerű és összetett hármasszabályra vezető
feladatokat tartalmaz.
A negyedik könyv, a „Sao
huang” kifejti a négyzet-és köbgyökvonás szabályait,
és meghatározza a kör sugarát, ha a kör területe adott.
Az ötödik könyvben, a „Munka
értékelésé”-ben különböző földmérési és építkezési módszerekről
olvashatunk, melyeket a könyv írója bizonyos geometriai összefüggésekkel hoz
kapcsolatba.
A hatodik könyv, az „Arányos elosztás” című, az
igazságos (arányos) adókivetésről szóló feladatokat tárgyalja. Itt a
matematikai módszer lényegében megegyezik a harmadik könyvben lévővel: arányos
osztás, egyszerű és összetett hármasszabály.
A „Felesleg-hiány” című hetedik könyv lineáris
egyenletekre és egyenletrendszerekre vezető feladatokat és azoknak megoldását
tartalmazza.
Ezek megoldása a nyolcadik könyvben válik
tökéletesebbé. Ezen kívül a könyv ugyanazokat a szabályokat a többismeretlenes egyenletrendszerekre egyaránt kifejti.
A mű utolsó, kilencedik könyvének gyakorlati alapját a végtelen távolságok és magasságok meghatározása képezi. Az erre vonatkozó feladatsort a könyv a Pithagorasz-tétel és a hasonló háromszögek tulajdonságainak segítségével oldja meg.
A „Matematika kilenc könyvben”-nek
rendkívül nagy jelentőséget tulajdoníthatunk, hiszen ez az ókori kínai
matematika egyik legjelentősebb és talán az egyetlen enciklopedikus
jellegű, matematikai témájú nagy írásos emléke. A műből kiderül többek között
az is, hogy Kína matematikája az évszázadok során elsősorban a
számoló-algoritmikus irányban fejlődött, és a különböző feladattípusok
megoldásához az algebrai módszerek sok lényeges elemét is kialakította.
A feudális társadalmi berendezkedés és főleg a
vallás nyomása sok esetben meghatározta a tudományok, így a matematika
fejlődését is, ezért ezek a tényezők a matematika előrehaladásának,
fejlődésének stagnáló jelleget, lassú ütemben való haladást kölcsönöztek.
Az ókori Hellász
matematikája
A
hellenizmus korában Alexandria (Nagy Sándor birodalmában) az akkori kulturális
világ közpomtja volt. Időrendben az első nagy alexandriai
matematikus Euklidész (latinosan Euclides)
Feltehetően Ptolemaiosz idején élt, de életéről
szinte semmit nem tudunk, azonban műveiből szerencsére lényegesen több maradt
ránk.
Kr. e. 300 körül írta tizenhárom kötetből álló
művét, az Elemeket, ebben összefoglalta Eudoxosz
tételeit, tökéletesítette Theétethosz számos tételét,
és az összes olyan tételre, amelyeket még elődei nem tudtak kifogástalanul
bizonyítani, megcáfolhatatlan bizonyítást adott.
Röviden azt mondhatjuk, hogy a tizenhárom könyv
közül az első hat tárgya a háromszögek, a sokszögek, a körök, az az arány és a hasonlóság. A következő négy kötet a
számelmélettel foglalkozik Kiemelhetjük két lényeges
eredményét: a IX.2.-ben bebizonyítja azt, hogy végtelen sok prímszám létezik, a
X.9.-ben pedig megmutatja, hogy 2 négyzetgyöke irracionális szám.
A XI. kötet a térgeometriába való bevezetésül szolgál, a XII. könyv a gúlákkal, kúpokkal és hengerekkel, a XII. könyv pedig az öt szabályos testtel foglalkozik.
Ha a matematika bármely ágát logikusan építjük fel, akkor minden fogalom vagy reláció definíciója más fogalmakat és relációkat kell, hogy tartalmazzon. Ezért a „circulus vitiosus”-t (vagyis az egy helyben forgó, hibás okoskodást) csak úgy kerülhetjük el, hogy bizonyos alapfogalmakat, illetve alapvető relációkat (rendszerint a lehető legkevesebbet) defininiálatlanul hagyunk.
Hasonlóan, mivel minden tétel bizonyításához más tételeket használunk, bizonyos egyszerű tételeket bizonyítás nélkül kell elfogadnunk. Ezeket posztulátumoknak vagy más néven axiómáknak nevezzük.
Euklidész nem sorolta fel, hogy geometriájának melyek az alapfogalmai és alapvető relációi; megelégedett azzal, hogy definícióit a közmeggyőződésben élő fogalmak segítségével alkossa meg. Például:
„ Pont az, aminek nincs része.”
„Egyenes vonal az, amelyik a rajta lévő pontokhoz viszonyítva egyenlően fekszik.”
„Síkfelület az, amelyik a rajta lévő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik.
Először axiómákat vezetett be ( gyakorlati tapasztalatok széleskörű általánosításán alapuló tételek, amelyekből valamely tudományos elmélet összes állításai levezethetők, de amelyet maga az elmélet közvetlenül nem igazol ), ezek a következők:
„Amik ugyanazzal egyenlők, azok egymással is egyenlők.”
„Ha nem egyenlőkhöz nem egyenlőket adunk hozzá, a maradékok nem egyenlők.”
„Ugyanannak a kétszeresei egyenlők egymással.”
„Ugyanannak a fele részei egyenlők egymással.”
„Az egymásra illeszkedők egyenlők egymással
„Az egész nagyobb a részénél.
„Két egyenes vonal nem fog közre területet.”
Posztulátumai ( bizonyítás nélkül elfogadott, egyszerűbb igazságra vissza nem vezethető tételek ) pedig az alábbiak voltak:
1.: „Bármely pontból
bármely más ponthoz egyenes vonal húzható.”
2.: „Bármely véges
egyenes szakasz meghosszabbítható úgy, hogy egyenest kapjunk.”
3.: „Tetszőleges
középpontú és tetszőleges sugarú kör szerkeszthető.”
4.: „Minden derékszög
egyenlő egymással.”
5.: „Ha egy egyenes két
másik egyenest úgy metsz, hogy az egyik oldalán fekvő két belső szög együttesen
kisebb két derékszögnél, akkor a másik két egyenest határtalanul meghosszabítva, azok metszik egymást azon az oldalon,
amelyen a szögek összege két derékszögnél kisebb volt.”
Ez az az axiómarendszer,
amelynél tökéletesebbet egészen a XIX. század végéig nem sikerült nem sikerült
összeállítani.
Euklidész ötödik axiómája a híres párhuzamossági axióma.
Euklidész mellett az ókori matematika nagy alakjai
Pithagorasz (Kr.e. 580-500) és Thalész (Kr.e.624-547),
akiknek munkássága döntő jelentőségű volt a matematika történetében.
Thalész feltehetően szamoszi születésű görög matematikus és filozófus, Dél-Itália görög gyarmatain tevékenykedett, és iskoláit is itt alapította (ezek közül az egyik leghíresebb a krotóni iskola.).
A hagyomány szerint nagy matematikus volt, aki
elméleteiben a számokat önálló, létező szubsztanciaként, azaz a valóság
elemeiként tüntette fel. Tőle ered az első kísérlet egy mennyiségi jellegű
világszemlélet kidolgozására is, a mennyiségeket azonban elszakította a
valóságtól. Filozófiája, amelyben vallásos-misztikus elképzelések uralkodtak,
az ókori idealizmus első fejletlen jelentkezése volt (pithagoreizmus);
valószínűleg fontos szerepet játszott benne a lélekvándorlás és az aszketikus
etika tana is.
Neki tulajdonítják továbbá a derékszögű háromszög
oldalainak hossza közötti összefüggés felfedezését és összefoglalását, az
úgynevezett Pithagorasz- tételt, mely szerint a derékszögű háromszög befogóinak
négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével ( a² +b²═c²).
Foglalkozott számelmélettel is, iskoláiból
származik a prímszám, az összetett szám, az összemérhetőség stb. fogalma.
Thalész milétoszi görög matematikus és
csillagász, a görög filozófia atyjaként tartják számon. Utazásai során a
természet közvetlen szemlélete alapján szerzett tapasztalatait egységes materialista
világképében általánosította. A dolgok őselvét a vízben feltételezte. A
mitológiával és a kozmogóniákkal szemben természettudományos magyarázatra
törekedett.
Érdemei közé tartozik a milétoszi iskola megalapítása és
a csillagászati és geometriai ismeretek továbbfejlesztése is, továbbá tőle
származik a róla elnevezett tétel, mely azt mondja ki, hogy ha egy kör
átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor
derékszögű háromszöget kapunk. Vagyis a félköríven (átmérőn) nyugvó kerületi
szögek derékszögek.
Az
ókor legnagyobb mérnökének, az alexandriai Hérónnak nagy jelentőséget tulajdoníthatunk a
matematikának gyakorlatban való alkalmazásáért.
Hérón az első földméréstani könyvben, a Peri Dioptrasz című alkotásában írja le a földmérés műszereit és
a különböző földméréssel kapcsolatos feladatok megoldásait. Tárgyalja két pont
magasságkülönbségének meghatározását, egyenes kitűzését két nem összelátható
pont között, a terület-meghatározásokat és a szögmérés módszereit.
Másik könyve, a Metrika (Méréstan)
területszámítási és geometriai problémákat tárgyal, s többek között megadja a
nevezetes Hérón-képletet is, amelynek segítségével a
háromszög területét annak oldalhosszából meg lehet határozni. ( A fél kerület
, és a területszámítás képlete pedig
a következő:
)
Az ókori görög matematika fejlődésében nagy
szerepet játszottak még Démokritosz és Zénón
filozófusok, azonban Arkhimédésznek (Kr.e. 287-212) rendkívül nagy jelentőséget
tulajdoníthatunk. Tőle származik a parabolaszelet négyszögesítésének elve és
sok más tétel is.
Arkhimédész híres volt még mechanikai
találmányairól is: ő tervezte például az úgynevezett „arkhimédészi csavart”, de
tervezett emelőrendszereket és csigákat is.
A görög matematika
nagy alakjai közé sorolhatjuk Eratoszthenészt is, aki
a róla elnevezett „erathosztenészi hálóval” a
prímszámokat kutatta, találta meg és fejtette ki.
Mindezt egybevetve
tehát határozottan kijelenthetjük azt, hogy az ókor matematikájának és matematikusainak
rendkívül nagy jelentőséget tulajdoníthatunk, hiszen a régészeti munkák során
előkerült dokumentumok meglepően magas szintű tudásról és matematikai
ismeretekről tanúskodnak, másrészről pedig azért is,
mert a későbbi korok, így a huszadik század matematikai ismereteit is az ő
munkásságuk alapozta meg.
Rubnyikov: Matematikatörténet
H.S.M. Coxeter: A
geometriák alapjai
Sain Márton: Matematikatörténet
Internet: